L’intérêt des jeux mathématiques dans l’éducation

Un article de Michel Criton*

Je suis nul en maths

Un minimum de compétences mathématiques devrait faire partie du bagage de tout citoyen. Or les mathématiques ont une place à part dans l’éventail des disciplines enseignées à l’école. En effet, évoquez autour de vous les mathématiques et huit personnes sur dix feront la grimace ou vous répondront “Je suis nul(le) en maths”. Aucune autre matière, que ce soit la littérature, le dessin, la musique, l’histoire ou le sport qui sont aussi enseignés à l’école, ne provoquent une telle réaction. Pourquoi un tel rejet qui touche une majorité de gens ?

Les baignoires et les robinets

Jusqu’au début du 20e siècle, dans l’enseignement secondaire, les mathématiques ont été enseignées sur le modèle des Eléments d’Euclide (vers – 300 de notre ère) qui sont une compilation de connaissances destinée à un public savant sur le modèle “axiomes, définitions, théorèmes”. Depuis un siècle, on a introduit dans l’enseignement secondaire des activités destinées à rendre les élèves plus actifs. Ces activités s’appuient généralement sur des exemples concrets, mais c’est souvent du “faux concret”. On ne rappellera que pour mémoire les problèmes de baignoires et de robinets (de tels problèmes se posent-ils réellement dans la vie ?). Depuis une quinzaine d’années, les jeux mathématiques entrent dans les manuels du collège, mais c’est trop souvent au titre d’amusettes pour “faire passer la pilule”.

Inventer des solutions

Il faudrait ici s’interroger sur ce qu’est une activité mathématique. Est-ce seulement appliquer des règles, des théorèmes, des “recettes”, résoudre des exercices balisés ? Bien sûr, tout cela en fait partie, mais faire des maths, c’est beaucoup plus que cela, c’est aussi explorer des pistes, faire preuve d’imagination et de créativité pour résoudre des problèmes comme on doit en résoudre dans la vie. Il faut en effet distinguer exercices et problèmes. Dans les premiers, on applique mécaniquement ce qu’on a appris, tandis que dans les seconds, on doit inventer une solution (en utilisant éventuellement ce qu’on a appris), un problème pouvant souvent se résoudre de plusieurs façons. On peut citer ici les ateliers “maths en jeans” où des lycéens explorent un sujet qu’ils ne connaissent pas (et que leur professeur ne connaît pas forcément non plus), en association avec un mathématicien chercheur. Ils rédigent ensuite un article et le présentent à d’autres lycéens au cours d’un congrès.

Des jeux mathématiques à l’école

La tentative d’introduire des jeux mathématiques dans l’enseignement n’est pas nouvelle. On trouve en effet des problèmes récréatifs dans des recueils mathématiques indiens ou arabes très anciens. En Europe, on attribue un recueil de tels problèmes à Alcuin d’York (vers l’an 800). Ce recueil de textes en latin, qui s’intitule “Problèmes pour aiguiser l’esprit de la jeunesse” contient le célèbre problème du loup, de la chèvre et du panier de choux auxquels on doit faire traverser une rivière sur un bateau qui ne peut transporter que deux de ces trois éléments. Il contient aussi d’autres problèmes moins connus et tout aussi intrigants comme le suivant : Si deux hommes épousent chacun la mère de l’autre, quel sera le lien familial entre leurs fils ? (Les solutions des jeux sont en bas de l’article) De nombreux mathématiciens ont ensuite introduit des problèmes récréatifs dans leurs ouvrages de mathématiques : Fibonacci, Luca Pacioli, Nicolas Chuquet, Bachet de Méziriac, Leonhardt Euler, etc. A la fin du 19e siècle, le mathématicien Edouard Lucas (1842 – 1892) pensait que chaque notion mathématique pouvait être introduite et illustrée par un jeu. C’est dans ce but qu’il entreprit la rédaction de ses “Récréations mathématiques” (4 tomes dont 3 publiés après sa disparition). Le mot “jeu” a évidemment plusieurs significations.

Si un jeu est une récréation, un divertissement, c’est aussi un défi à relever et à vaincre en utilisant son intelligence, comme on utilise son corps (et aussi son intelligence) dans les jeux du sport.

Un exemple pour les jeunes enfants

Mathilde choisit deux jetons parmi les cinq suivants, mais elle veut que le total des nombres sur les deux jetons choisis soit un nombre pair. De combien de façons peut-elle choisir ses deux jetons ? L’intérêt de ce jeu très simple est qu’il permet à l’enfant de découvrir les règles de base de la parité : on obtient toujours un nombre pair en additionnant deux nombres pairs ou deux nombres impairs, mais jamais en additionnant un nombre pair et un nombre impair.

Un exemple plus compliqué : la roue magique

Il s’agit de placer des pions portant les nombres de 1 à 7 de telle sorte que les sommes de trois nombres soient les mêmes sur les trois alignements. Une tentative “au hasard” a peu de chances d’aboutir. Il faut donc réfléchir au rôle particulier joué par la case centrale qui appartient aux trois alignements. Si on enlève le pion de cette case centrale, les sommes sur les trois alignements sont encore égales, puisqu’on enlève à toutes le même nombre. Donc la somme de tous les nombres sauf celui de la case centrale doit être un multiple de 3. On ne peut donc placer dans la case centrale qu’un nombre qui laisse la somme de tous les autres divisibles par 3. La somme de tous les pions (1 + 2 + 3 + etc.) est de 28. Le plus grand multiple de 3 est 27 (en enlevant 1, que l’on mettra au centre). Divisé par 3, 27 donne 9, que l’on peut composer en posant les pions 5 et 4, puis 6 et 3, et enfin 7 et 2 de part et d’autre du 1 central, sur les trois alignements. L’un des intérêts de ce jeu est que lorsque l’enfant (ou l’adulte) a trouvé une solution, on peut lui demander si c’est bien la seule ou s’il en existe d’autres. Voir solutions ci-dessous.

Pour les mordus… des prolongements

Ce qui est intéressant également avec certains jeux comme le dernier, c’est que l’on peut inventer des prolongements. Par exemple, on décide de partir de la solution dessinée ici : et de remplacer chaque jeton par son complément à 8 (celui qui, additionné à lui, donne 8). 1 est remplacé par 7 car 1+7 = 8, 2 est remplacé par 6 car 2 + 6 = 8, etc. On obtient une autre configuration qui est elle aussi une solution au jeu : Même chose avec la solution du 4 au centre : Et si l’on a déjà le sens de l’esthétique des mathématiques, on constate que les solutions avec 1 au centre et avec 7 au centre sont duales l’une de l’autre, et que la solution avec 4 au centre est “autoduale”.

Solutions

jeu 1 : chacun sera à la fois l’oncle et le neveu de l’autre qui sera le fils de son demi-frère. jeu 2 : Mathilde a 4 façons de choisir 2 jetons : 1+3 ; 1+5 ; 2+4 et 3+5. jeu 3 : 1 ou 4 ou 7 au centre, avec des sommes de 10 dans le premier cas, de 12 et de 14 dans les deux autres. *Michel Criton a enseigné les mathématiques et est aujourd’hui président du jury du Championnat International des jeux mathématiques et logiques et président de la Fédération Française des Jeux Mathématiques. Il est rédacteur en chef de la revue Tangente Education et a également publié, entre autres, le Que-sai-je Les Jeux Mathématiques (PUF) et 121 Rapidos et autres énigmes mathématiques (POLE).

Une réflexion au sujet de « L’intérêt des jeux mathématiques dans l’éducation »

  1. Bonjour Sylvia , et chez nous et dans nos ateliers on aime beaucoup l’histoire des maths , les relier et leur donner ainsi Vie et Sens… 🙂 On a ce bon bouquin et d’autres , et des outils pour grands ici et puis le grand récit des nombres en Montessori est vraiment super inspirant ! 🙂
    (sources =http://www.anae-revue.com/qui-donc-a-invent%C3%A9-les-math%C3%A9matiques-les-editions-du-petit-anae/

    http://www.mathkang.org/catalogue/index.html )

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